이진 탐색

https://www.youtube.com/watch?v=94RC-DsGMLo&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=5

 

이진 탐색 알고리즘

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· 순차 탐색 : 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법

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· 이진 탐색 : 정렬되어 있는 리스트에서 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법

· 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정한다.

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이미 정렬된 10개의 데이터 중에서 값이 4인 원소를 찾아보자.

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먼저 시작점은 제일 왼쪽에 있는 0번째 인덱스, 끝점은 가장 오른쪽에 있는 9번째 인덱스 그리고 중간점은 가운데 4번째 인덱스로 설정한다. 만약 중간값이 2개가 있으면 소수점을 제거한 값이 된다. ex) 9 / 2 = 4.5 이므로 소수점을 날리면 4

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처음에는 중간점의 값인 '8'과 찾고자 하는 값 '4'를 비교하여 어떤 값이 더 큰지를 비교한다. 만약 찾고자하는 값보다 중간점의 값이 더 크다면 중간점부터 오른쪽에 있는 값은 전부 확인할 필요가 없어진다. 그러므로 끝점을 중간점의 왼쪽으로 옮긴다.

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끝점을 옮긴 뒤, 다시 중간점을 설정한다. 그 뒤, 다시 중간점의 값과 찾고자 하는 값을 비교한다. 중간점의 값이 더 작으므로 중간점을 포함해서 왼쪽에 있는 값들은 확인할 필요가 없어지므로 시작점을 중간점의 왼쪽으로 이동시킨다.

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시작점을 옮기면 위와 같이 시작점이 2, 끝점이 3이되어 위와 같은 탐색 범위를 가지게 된다. 이때 중간점 '4'가 우리가 찾고자 하는 값이 되기 때문에 탐색을 마친다.

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이진 탐색의 시간 복잡도

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· 단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는

$\log _2\combi{N}$log2​N​

에 비례한다.

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· 예를 들어 초기 데이터 개수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개의 데이터만 남고, 2단계를 거치면 8개, 3단계를 거치면 4개의 데이터만 남는다.

· 다시 말해 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 O(logN)을 보장한다.

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이진 탐색 소스코드 : 재귀적 구현

def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    print()
    print("array : ", array[start:end+1])
    mid = (start + end) // 2
    print("mid : ", mid+1)
    print("array[mid] : ", array[mid])
    #목표값을 찾은 경우 해당 인덱스값 반환
    if array[mid] == target:
        return mid

    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid-1)
    else:
        return binary_search(array, target, mid+1, end)

n, target = list(map(int, input().split()))
array = list(map(int, input().split()))

result = binary_search(array, target, 0, n-1)

if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result+1)

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이진 탐색 소스코드 : 반복문 구현

def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2

        print("array : ", array[start:end+1])
        print("mid : ", mid+1)
        print("array[mid] : ", array[mid])
        if array[mid] == target:
            return mid
        elif array[mid] > target:
            end = mid - 1
        else:
            start = mid + 1
    return None

n, target = list(map(int, input().split()))
array = list(map(int, input().split()))

result = binary_search(array, target, 0, n-1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result+1)

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파이썬 이진 탐색 라이브러리

· binary_left(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 왼쪽 인덱스를 반환

· binary_right(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 오른쪽 인덱스를 반환

예를 들어, 위와 같이 정렬된 리스트 a = [1, 2, 4, 4, 8]이 있다고 해보자.

여기서 '4'라는 어떤 값을 삽입하려고 할 때, bisect_left(a, 4)를 하면 '4'가 들어갈 수 있는 가장 왼쪽의 인덱스를 반환하므로 2를 출력한다. 반면에 bisect_right(a, 4)를 하면 '4'가 들어갈 수 있는 가장 오른쪽의 인덱스를 반환하므로 4를 반환하게 된다.

 

from bisect import bisect_left, bisect_right

a = [1, 2, 4, 4, 8]
x = 4

print(bisect_left(a, x))
print(bisect_right(a, x))

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값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기

bisect_right로 구한 인덱스 값과 bisect_left로 구한 인덱스의 값을 빼주게 되면 해당 값의 범위에 포함되어있는 데이터의 갯수를 구할 수 있다.

from bisect import bisect_left, bisect_right

def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index

a = list(map(int, input().split()))
print("List : ", a)

#값이 4인 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, 4, 4))
#값이 [-1, 3]인 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, -1, 3))

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파라메트릭 서치 (Parametric Search)

· 파라메트릭 서치란 최적화 문제를 결정 문제('예' 혹은 '아니오')로 바꾸어 해결하는 기법이다.

ex) 특정한 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 빠르게 찾는 최적화 문제

· 일반적으로 코딩 테스트에서 파라메트릭 서치 문제는 이진 탐색을 이용하여 해결할 수 있다.