출처 : https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7
- 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
- 다양한 문제 상황
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
- 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
ex) 1~6번의 노드가 존재한다. 이때, 각 노드는 문제 상황에 따라 국가, 도시 등 다양한 형태로 표현될 수 있다. 또한 1번 노드에서 2번 노드로 이동이 가능하다면, 위 그림과 같이 표현이 가능하다. 이런 간선은 문제 상황에 따라 도로나 통로 등으로 표현된다.
1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
- 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.(다만, 기본적으로 최단 경로 문제는 다이나믹 프로그래밍 문제로 분류되기도 한다. A→C까지 가는 최단 경로에 B를 거쳐가는 경로가 존재한다고 하면 A→B, B→C의 경로도 고려를 해줘야 하기 때문이다.)
- 매 상황에서 (아직 방문하지 않은 노드들 중)가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 출발 노드를 설정한다. (다익스트라 알고리즘은 하나의 출발 노드부터 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘이기 때문에 가장 먼저 출발 노드를 설정해야 한다.)
- 최단 거리 테이블을 초기화한다. (처음에는 모든 노드까지 가는 비용을 무한으로 설정하고 자기 자신의 대한 간선은 0으로 설정한다.)
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
- 다익스트라 알고리즘의 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
- 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다.
예를 들어, 출발 노드와 A, B 노드가 있고, 각각의 간선은 위 그림과 같은 비용을 가지고 있다고 가정해보자. 맨 처음에는 출발 노드에서 A 노드까지 가는 최단 경로는 8이라고 보이게 된다.
하지만 B노드에 대한 정보를 확인해서 B노드를 거쳐서 A 노드까지 갔을 때의 정보를 확인해서 더 짧은 경로를 확인하고 갱신한다. 즉, 다른 노드를 거쳐갈 때의 정보를 확인해서 더 짧은 경로를 찾게 되면 최단 거리 테이블을 갱신하게 된다.
예시를 봐보자.
총 6개의 노드가 존재하고 출발 노드는 1번 노드라고 가정해보자. 최단 경로 테이블은 자기 자신은 0 나머지는 무한으로 초기화한다. 이제부터 방문하지 않은 노드 중에서 가장 거리가 짧은 노드를 매번 선택해서 해당 경로를 거쳐가는 경로를 확인하여 최단 경로 테이블을 갱신한다.
1. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.
1번 노드를 거쳐갔을 때의 비용과 현재까지의 비용을 비교해서 더 짧은 경로로 최단 경로 테이블을 업데이트 해준다.
1번 노드를 통해서 갈 수 있는 노드(2번, 3번, 4번 노드)의 간선 정보를 확인한다.
2번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 무한대였는데, 1 → 2번 노드를 거쳐갈 때 0 + 2 = 2 가 되어서 2번 노드로 가는 최단 경로 비용은 2로 갱신된다.
3번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 무한대였는데, 1 → 3번 노드를 거쳐갈 때 0 + 5 = 5 가 되어서 3번 노드로 가는 최단 경로 비용은 5로 갱신된다.
4번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 무한대였는데, 1 → 4번 노드를 거쳐갈 때 0 + 1 = 1 이 되어서 4번 노드로 가는 최단 경로 비용은 1로 갱신된다.
2. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.
마찬가지로 아직 방문하지 않은 노드 중에서 4번 노드와 인접한 노드(3번, 5번 노드)의 간선 정보를 확인한다.
3번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 5 였는데, 1 → 4 → 3번 노드를 거쳐갈 때 1 + 3 = 4 가 되어서 3번 노드로 가는 최단 경로 비용은 4로 갱신된다.
5번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 무한대였는데, 1 → 4 → 5번 노드를 거쳐갈 때 1 + 1 = 2 가 되어서 5번 노드로 가는 최단 경로 비용은 2로 갱신된다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.
다음으로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하는데, 가장 짧은 노드가 여러 개인 경우(2번, 5번 노드) 아무거나 선택해도 상관없지만 일반적으로 숫자가 작은 노드를 선택한다. 그래서 2번, 5번 중 2번 노드가 선택된다.
마찬가지로 아직 방문하지 않은 노드 중에서 2번 노드와 인접한 노드(3번 노드)의 간선 정보를 확인한다.
3번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 4 였는데, 1 → 2 → 3번 노드를 거쳐갈 때 2 + 3 = 5 가 되어서 3번 노드로 가는 최단 경로 비용은 갱신되지 않고, 4가 된다.
4번 노드의 경우 이미 방문한 노드이므로 그 값이 가장 최소의 값이기 때문에 방문하지 않아도 된다.
4. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.
마찬가지로 아직 방문하지 않은 노드 중에서 5번 노드와 인접한 노드(3번, 6번 노드)의 간선 정보를 확인한다.
3번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 4 였는데, 1 → 4 → 5 → 3번 노드를 거쳐갈 때, 1 + 1 + 1 = 3 가 되어서 3번 노드로 가는 최단 경로 비용은 3으로 갱신된다.
6번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 무한대였는데, 1 → 4 → 5 → 6번 노드를 거쳐갈 때, 1 + 1 + 2 = 4 가 되어서 6번 노드로 가는 최단 경로 비용은 4로 갱신된다.
5. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.
아직 방문하지 않은 노드 중에서 3번 노드와 인접한 노드(6번 노드)의 간선 정보를 확인한다.
6번 노드로 가는 경로의 경우 원래 비용이 4 였는데, 1 → 4 → 5 → 3 → 6번 노드를 거쳐갈 때, 1 + 1 + 1 + 5= 8 가 되어서 6번 노드로 가는 최단 경로 비용은 갱신되지 않고, 4가 된다.
맨 마지막 6번 노드는 방문하지 않은 인접한 노드가 존재하지 않으므로 처리하지 않는다.
다익스트라 알고리즘의 특징
- 그리디 알고리즘에 속한다 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
- 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
- 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.
다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 단계마다 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
다익스트라 알고리즘 코드 (Python)
# n : 노드의 갯수, m : 간선의 갯수
n, m = map(int, input().split())
# start : 시작 노드 번호
start = int(input())
# graph : 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# visit : 방문한 적이 있는지 확인하는 리스트
visit = [False]*(n+1)
# distance : 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [int(1e9)]*(n+1)
# 모든 간선의 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용은 c
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않는 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = int(1e9)
# 가장 최단 거리가 짧은 노드(index)
index = 0
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visit[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드 초기화 자기 자신의 간선 비용은 0
distance[start] = 0
# 방문 처리
visit[start] = True
# 현재 노드와 연결되어있는 간선에 대하여 distance에 저장
for i in graph[start]:
distance[i[0]] = i[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해서 반복
for i in range(n-1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
# 현재 노드 방문 처리
visit[now] = True
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 값을 저장
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
dijkstra(start)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] == int(1e9):
print("무한")
else:
print(distance[i])
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법 성능 분석
- 총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
- 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V2) 이다.
- 일반적으로 코딩테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있다.
- 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까?
우선순위 큐(Priority Queue)
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
- ex) 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
- 파이썬, C++, 자바 를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
우선순위 큐를 구현하는 방법으로 힙(Heap) 자료구조가 있다.
- 힙 자료구조는 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.
- 리스트를 사용하면 삽입할 때는 그냥 맨 뒤에 삽입하면 되지만, 삭제할 때에는 전체 리스트를 순회하며 검사를 진행해야 하기 때문에 O(N)의 시간 복잡도가 걸리게 된다.
- 힙은 트리 구조를 사용하여 데이터의 삽입과 삭제에 있어서 O(logN)의 시간 복잡도를 보장하므로, 힙 자료구조를 사용해서 우선 순위 큐를 구현하게 되면 삽입과 삭제에 O(logN)를 보장할 수 있다.
힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙
import heapq
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 h에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# h에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 result에 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)결과값
힙 라이브러리 사용 예제 : 최대 힙
import heapq
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 h에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
# h에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 result에 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)h에 원소를 넣을 때 -를 붙여서 더 작은 값을 순서로 저장하고 꺼내서 result에 담을 때 다시 -를 붙여서 가장 큰 값을 순서대로 출력한다.
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
import heapq
import sys
INF = int(1e9)
n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
graph = [[] for _ in range(n+1)]
distance = [INF]*(n+1)
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a].append((b, c))
# 현재 상황에서 가장 최단거리가 짧은 원소를 선택하는 함수와 visit는 더 이상 사용하지 않음
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q:
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼낸다.
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시한다.
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 테이블 갱신
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] == INF:
print("무한")
else:
print(distance[i])
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법 성능 분석
- 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
- 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(While문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
- 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
- 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
- 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
- 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
- O(ElogE) → O(ElogV2) → O(2ElogV) → O(ElogV)
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