최단 경로 알고리즘 - 플로이드 워셜 알고리즘

https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&t=831s 

플로이드 워셜 알고리즘 개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.

플로이드 워셜은 점화식에 맞게 3중 반복문을 통해서 2차원 테이블을 갱신해주는 방식으로 동작한다. 다익스트라 알고리즘보다 구현 난이도는 쉽지만, 시간 복잡도는 O(N³)이라는 단점이 있다.

그렇기 때문에 노드의 갯수가 적을 때 효과적으로 사용할 수 있다.

 

플로이드 워셜 알고리즘의 점화식

• 각 단계마다 특정한 노드 k 를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
• 점화식은 다음과 같다.

 

[초기 상태] : 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다.

 

맨 처음에는 각 노드를 기준으로 현재 노드와 인접한 노드들을 확인하여 테이블을 갱신한다.

2차원 테이블을 이용해서 각 노드가 다른 노드로 가는 비용을 기록한다.

 

초기 상태에는 인접한 노드만 확인해서 테이블을 초기화 해준다. 이후에 각 노드에 대해서 거쳐가는 경우를 확인하여 테이블을 갱신해준다.

 

[1 단계] : 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다. (즉, k = 1)

 

1번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하기 때문에 1번 노드의 행과 열 그리고 자기 자신의 최단 거리는 갱신되지 않는다.

 

그리고 1번 노드를 거쳐가는 6가지의 경우 기존의 비용과 1번 노드를 거쳐가는 비용을 비교하여 더 작은 값을 테이블에 저장한다.

 

[2 단계] : 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

 

마찬가지로 2번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하기 때문에 2번 노드의 행과 열 그리고 자기 자신의 최단 거리는 갱신되지 않는다.

 

2번 노드를 거쳐가는 6가지의 경우 기존의 비용과 2번 노드를 거쳐가는 비용을 비교하여 더 작은 값을 테이블에 저장한다.

 

위 과정을 반복해서 전체 노드를 한바퀴 돈다.

 

플로이드 워셜 알고리즘 코드

INF = int(1e9)

n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트를 만들고 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("무한", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행한다.
  • 각 단계마다 O(N²) 의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N³) 이다.